Question

8．已知△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．若a=2，cosA=$\frac{1}{3}$，則△ABC面積的最大值為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用余弦定理得出4=b²+c²-$\frac{2}{3}$bc，再利用基本不等式求出bc≤3，根據△ABC的面積公式即可求出它的最大值．

解答 解：△ABC中，a=2，cosA=$\frac{1}{3}$，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
即4=b²+c²-$\frac{2}{3}$bc；
又4=b²+c²-$\frac{2}{3}$bc≥2bc-$\frac{2}{3}$bc=$\frac{4}{3}$bc，
當且僅當b=c時取“=”；
∴bc≤3，
∴△ABC的面積為
S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{1{-（\frac{1}{3}）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即△ABC面積的最大值為$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了余弦定理和△ABC面積公式的應用問題，也考查了基本不等式的應用問題，是綜合性題目．