Question

18．已知數列{a_n}是一個等差數列，S_n為其前n項和，a₂=1，S₉=-45．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{5-{a}_{n}}{2}$，c_n=2^b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意和等差數列的前n項和公式求出a₅，由等差數列的性質求出公差，再由等差數列的通項公式求出{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（I）化簡b_n=$\frac{5-{a}_{n}}{2}$，代入c_n=2^b_n化簡，由等比數列的前n項和公式求出T_n．

解答 解：（Ⅰ）由S₉=-45得，$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}=-45$，
則9a₅=-45，解得a₅=-5，
又a₂=1，則公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{5-2}$=-2，
所以a_n=a₂+（n-2）d=-2n+5；
（Ⅱ） 由（I）得b_n=$\frac{5-{a}_{n}}{2}$=n，c_n=2^b_n=2ⁿ，
所以T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查了等比數列的前n項和公式，等差數列的性質、通項公式、前n項和公式，考查化簡、變形能力．