Question

16．若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\end{array}\right.$且最大值為40，則$\frac{5}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區域，利用z的幾何意義確定取得最大值的條件，然后利用基本不等式進行求則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
∵a＞0，b＞0，∴直線的斜率$-\frac{a}{b}＜0$，
作出不等式對應的平面區域如圖：
平移直線得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，由圖象可知當直線$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$經過點A時，直線$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的截距最大，此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=10}\end{array}\right.$，即A（8，10），
此時目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為40，
即8a+10b=40，∴$\frac{1}{5}$a+$\frac{1}{4}$b=1，
$\frac{5}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{5}{a}$+$\frac{1}{b}$）×1=（$\frac{5}{a}$+$\frac{1}{b}$）×（$\frac{1}{5}$a+$\frac{1}{4}$b）
=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{5b}{4a}$+$\frac{a}{5b}$≥$\frac{5}{4}$+2$\sqrt{\frac{5b}{4a}•\frac{a}{5b}}$=$\frac{5}{4}$+2×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{4}$+1=$\frac{9}{4}$，
當且僅當$\frac{5b}{4a}$=$\frac{a}{5b}$，即2a=5b時取等號．
故$\frac{5}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值為$\frac{9}{4}$
故答案為：$\frac{9}{4}$

點評 本題主要考查線性規劃的基本應用，以及基本不等式的應用，利用數形結合求出目標函數取得最大值的條件是解決本題的關鍵．