Question

【題目】已知橢圓，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn)被截得的弦長(zhǎng)為，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）根據(jù)通徑可求過(guò)的焦點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn)被截得的弦長(zhǎng)為，再由橢圓的離心率為及橢圓解得a、b，可得橢圓方程；

（2）依題意，得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得線(xiàn)段的中點(diǎn)為，可得線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，代入解得或，由此得出直線(xiàn)的方程.

（1）過(guò)的焦點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn)被截得的弦長(zhǎng)為，

，解得，.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）依題意，得直線(xiàn)的斜率存在且不為0，，

設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，

由，得.

可得，

，，

線(xiàn)段的中點(diǎn)為.

線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為

.

令，得.

，解得或.

直線(xiàn)的方程為或.