Question

【題目】如圖，在平行六面體中，，，.

（1）證明：.

（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明．

（2）推導(dǎo)出平面，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解：（1）取的中點(diǎn)，連接，.

∵，∴，

又，四邊形是平行四邊形，，

∴是等邊三角形，∴，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）∵平面平面，平面平面，

又，平面

∴平面，

因?yàn)?/span>平面，

∴，，兩兩垂直，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，

易知平面的一個(gè)法向量為，

，，

設(shè)平面的法向量，

則，取，得，

即平面的一個(gè)法向量為，

，，

，

由圖易知二面角為銳二面角，

∴二面角的余弦值為.