Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的一個焦點是（

2

，0），且截直線x=

2

所得弦長為

4

3

6

，求該橢圓的方程．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意求出c，聯立直線方程與橢圓方程求出y，并表示出弦長列出方程，由a、b、c的關系列出方程，聯立方程求出a²和b²的值．

解答： 解：由題意知，c=

2

，直線x=

2

過橢圓焦點，且垂直于x軸，
由

x= 2 x2 a2 + y2 b2 =1

得，y=±

b2

a

，
因為截直線x=

2

所得弦長為

4

3

6

，所以

2b2

a

=

4 6

3

，①
又a²=b²+2，②，
聯立①②解得，a²=6、b²=4，
所以該橢圓的方程是

x2

6

+

y2

4

=1．

點評：本題考查橢圓的標準方程，以及直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．