Question

某商場為經營一批每件進價是10元的小商品，對該商品進行為期5天的市場試銷．下表是市場試銷中獲得的數據．

銷售單價/元	65	50	45	35	15
日銷售量/件	15	60	75	105	165

根據表中的數據回答下列問題：
（1）試銷期間，這個商場試銷該商品的平均日銷售利潤是多少？
（2）試建立一個恰當的函數模型，使它能較好地反映日銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系，并寫出這個函數模型的解析式；
（3）如果在今后的銷售中，該商品的日銷售量與銷售單價仍然滿足（2）中的函數關系，試確定該商品的銷售單價，使得商場銷售該商品能獲得最大日銷售利潤，并求出這個最大的日銷售利潤．
（提示：必要時可利用右邊給出的坐標紙進行數據分析）

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）商場試銷該商品的平均日銷售利潤是1860．
（2）函數模型為y=-3x+210（10≤x≤70）．
（3）當該商品的單價為每件40元時，商場銷售該商品的日銷售利潤最大，為2700元．

解答： 解：（1）設平均日銷售利潤為M，則M=

(15-10)×165+(35-10)×105+(45-10)×75+(50-10)×60+(65-10)×15

5

=165+5×105+7×75+8×60+11×15=1860．
（2）依題意，根據點的分布特征，可考慮以y=kx+b作為刻畫日銷售量與銷售單價之間關系的函數模型，取其中的兩組數據（45，75），（65，15）代入y=kx+b得：

75=45k+b 15=65k+b

，
解得，k=-3，b=210
這樣，得到一個函數模型為y=-3x+210（10≤x≤70）．
將其他已知數據代入上述解析式知，它們也滿足這個解析式，即這個函數模型與已知數據的擬合程度較好，這說明所求的函數解析式能較好地反映銷售量與銷售單價之間的關系．
（3）設經營此商品的日銷售利潤為P元，由（2）知
P=xy-10y=x（-3x+210）-10（-3x+210）=-3（x-40）²+2700（10≤x≤70）
∴x=40時，P有最大值為2700．
即當該商品的單價為每件40元時，商場銷售該商品的日銷售利潤最大，為2700元．

點評：本題考查函數模型的選擇與應用，考查利用數學知識解決實際問題，確定函數解析式是關鍵．