Question

若曲線f（x）=x⁴+ax³+x²+x+1在點（0，1）處的切線與該曲線還切于其它點，則實數a=

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：由題意求導f′（x）=4x³+3ax²+2x+1，從而可寫出切線方程y=x+1，從而得到4x²+3ax+2=0與x²+ax+1=0有相同的解，從而聯立方程解a．

解答： 解：∵f（x）=x⁴+ax³+x²+x+1，f′（x）=4x³+3ax²+2x+1；
∴f′（0）=1；
故切線方程為y=x+1；
又∵曲線f（x）=x⁴+ax³+x²+x+1在點（0，1）處的切線與該曲線還切于其它點，
∴f′（x）=4x³+3ax²+2x+1=1有非零解，f（x）=x⁴+ax³+x²+x+1=x+1有非零解；
且有相同的非零解；
即4x²+3ax+2=0與x²+ax+1=0有相同的解，
聯立方程得，

4x2+3ax+2=0 x2+ax+1=0

；
解得，x=-1，a=2，或x=1，a=-2；
故答案為：±2．

點評：本題考查了導數的綜合應用及導數的幾何意義的應用，屬于中檔題．