Question

16．已知f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f（x）=x²-2x，那么不等式f（x+1）＞3的解集是（　　）

• A． （-∞，2）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（0，+∞）
• C． （-∞，0）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 先求出x＞0時的解析式，由偶函數(shù)性質(zhì)得：f（-x）=f（x），則f（x+1）＞3可變?yōu)閒（|x+1|）＞3，代入已知表達(dá)式可表示出不等式，先解出|x+1|的范圍，再求x范圍即可．

解答 解：設(shè)x＞0，則-x＜0，
因為當(dāng)x≤0時，f（x）=x²-2x，
所以f（-x）=x²+2x，
因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）=x²+2x，
因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（|x+1|）=f（x+1），
則f（x+1）＞3可化為f（|x+1|）＞3，即|x+1|²+2|x+1|＞3，（|x+1|+3）（|x+1|-1）＞0，
所以|x+1|＞1，解得：x＞0或x＜-2，
所以不等式f（x+1）＞3的解集是{x|x＞0或x＜-2}，
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函數(shù)性質(zhì)把不等式具體化是解決本題的關(guān)鍵．