Question

10．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，若過F且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （1，2）
• D． （1，2]

Answer 1

分析 若過點(diǎn)F且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答 解：已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，
若過點(diǎn)F且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率$\frac{b}{a}$，
∴$\frac{b}{a}$≥$\sqrt{3}$，離心率e²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$≥4，
∴e≥2，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件．