Question

已知定義域為（0，+∞）上的單調遞增函數f（x），滿足：?x∈（0，+∞），有f（f（x）-lnx）=1，則方程f（x）=-x²+4x-2解的個數為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：由題意可得，存在唯一的正實數a，使f（x）-lnx=a，f（a）=1，求得a=1，可得f（x）的解析式，方程即-x²+4x-3=lnx．故方程解的個數，即函數y=-x²+4x-3的圖象和函數 y=lnx 的圖象的交點個數，數形結合可得結論．

解答： 解：由于定義域為（0，+∞）上的單調遞增函數f（x）滿足f（f（x）-lnx）=1，f（x）=-x²+4x-2，
故必存在唯一的正實數a，使f（x）-lnx=a，f（a）=1 ①，
∴f（a）-lna=a ②．
由①②求得a=1，故f（x）=1+lnx，方程f（x）=-x²+4x-2，即 1+lnx=-x²+4x-2，即-x²+4x-3=lnx．
故方程解的個數即函數y=-x²+4x-3的圖象和函數 y=lnx 的圖象的交點個數．
數形結合可得函數y=-x²+4x-3的圖象和函數 y=lnx 的圖象的交點個數為3，
故選：D．

點評：本題考查對數的運算性質的綜合運用，綜合性強，難度大．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，屬于中檔題．