Question

6．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以原點為圓心，橢圓C的短軸長為直徑的圓與直線x-y+2=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P（0，1），Q（0，2），設M，N是橢圓C上關于y軸對稱的不同的兩點，直線PM與QN相交于點T，求證：點T在橢圓上．

Answer 1

分析 （1）以原點為圓心，橢圓C的短軸長為直徑的圓與直線x-y+2=0相切，可得$\frac{2}{\sqrt{2}}$=b，解得b．又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解出即可得出橢圓C的標準方程．
（2）設M（x₀，y₀），N（-x₀，y₀），可得直線PM的方程為：$y=\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，直線QN的方程為：$y=\frac{{y}_{0}-2}{-{x}_{0}}$x+2，設T（x，y），聯立基礎代入橢圓方程即可得出．

解答 （1）解：∵以原點為圓心，橢圓C的短軸長為直徑的圓與直線x-y+2=0相切，
∴$\frac{2}{\sqrt{2}}$=b，解得b=$\sqrt{2}$．
又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a²=8，c=$\sqrt{6}$，
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）證明：設M（x₀，y₀），N（-x₀，y₀），可得直線PM的方程為：$y=\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，直線QN的方程為：$y=\frac{{y}_{0}-2}{-{x}_{0}}$x+2，
設T（x，y），聯立解得x₀=$\frac{x}{2y-3}$，y₀=$\frac{3y-4}{2y-3}$，
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{8}+\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=1，∴$\frac{1}{8}（\frac{x}{2y-3}）^{2}$+$\frac{1}{2}（\frac{3y-4}{2y-3}）^{2}$=1，
化為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
∴點T在橢圓上．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、直線與圓相切性質、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．