Question

9．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，P是BC邊上的一點，則${（\overrightarrow{BP}）^2}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍是（　�。�

• A． $[\frac{1}{4}，3]$
• B． $[\frac{1}{2}，5]$
• C． $[\frac{13}{4}，5]$
• D． $[-\frac{27}{4}，-5]$

Answer 1

分析 利用余弦定理求得BC，再利用正弦定理求得sinB，可得cosB的值，再把${（\overrightarrow{BP}）^2}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=${（λ•\overrightarrow{BC}）}^{2}$-（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•$\overrightarrow{BC}$ 轉化為關于λ的二次函數，結合二次函數在閉區間上的最值即可求解．

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，
在△ABC中，∠BAC=120°中，根據余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC，
∴BC=$\sqrt{4+1-2•2•1•cos120°}$=$\sqrt{7}$．
根據正弦定理得，$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，即$\frac{1}{sinB}$=$\frac{\sqrt{7}}{sin120°}$，∴sinB=$\frac{3}{2\sqrt{7}}$，cosB=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$，
從而有${（\overrightarrow{BP}）^2}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=${（λ•\overrightarrow{BC}）}^{2}$-（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•$\overrightarrow{BC}$=7λ²-2$\sqrt{7}$•$\frac{5}{2\sqrt{7}}$-7λ=7${（λ-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{13}{4}$，
∴${（\overrightarrow{BP}）^2}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍是[$\frac{13}{4}$，5]．
故選：C．

點評 本題主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的應用，向量的數量積的應用及二次函數的性質的靈活應用是求解的關鍵，屬于中檔題．