Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）設曲線與軸正半軸交于點，求曲線在該點處的切線方程；

（Ⅱ）設方程有兩個實數根，，求證：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）首先求出函數與軸正半軸交于點，求出函數的導函數即可得到即切線的斜率，最后利用點斜式求切線方程；

（Ⅱ）求出函數的單調區間，不妨設，則．首先證明：當時，，要證，只要證，即證．又，只要證，即證．令

利用導數研究函數的單調性從而得到，即可得證；

解：（Ⅰ）由，得．∴，即函數與軸正半軸交于點，

又因為．

∴．，

∴曲線在點處的切線方程為．

（Ⅱ）令得或．

且當或時；當時，．

∴的單調遞增區間為，單調遞減區間為，．

當或時；當時，．

不妨設，則．

下面證明：當時，．

當時，．

易知在上單調遞增，

∴，即當時，．

由得．

記．

則．

要證，

只要證，即證．

又∵，∴只要證，即證．

∵，即證．

令，則．

當時，．為單調遞減函數；

當時，．為單調遞增函數．

∴，∴．

∴．