Question

【題目】已知函數f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值為M，正實數a，b滿足a+b＝M．

（1）求2a2+b2的最小值；

（2）求證：aabb≥ab．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

（1）去絕對值得分段函數：，由單調性易求函數f（x）的最大值，即有M的值，再由柯西不等式，即可得到所求最小值；

（2）應用分析法證明，考慮兩邊取自然對數，結合因式分解和不等式的性質、對數的性質，即可得證.

解：（1）函數，

∴在（∞，1）上單調遞增，在（1，＋∞）上單調遞減，

當x＝1時，f（x）取得最大值，

即M＝2，

正實數a，b滿足a+b＝2，

由柯西不等式可得（2a2+b2）（1）≥（ab）2，

化為2a2+b2，

所以當，即b，a時，2a2+b2取得最小值；

（2）證明：因為a+b＝2，a，b＞0，要證aabb≥ab，即證alna+blnb≥lna+lnb，

即證（a﹣1）lna≥（1﹣b）lnb，

即證（a﹣1）lna≥（a﹣1）ln（2﹣a），

即證（1﹣a）ln（1）≥0，

當0＜a＜1時，1＞1，所以ln（1）＞0，

由1﹣a＞0，可得（1﹣a）ln（1）＞0；

當a＝1時，（1﹣a）ln（1）＝0；

當1＜a＜2時，01＜1，所以ln（1）＜0，

因為1﹣a＜0，所以（1﹣a）ln（1）＞0，

綜上所述，（1﹣a）ln（1）≥0成立，即aabb≥ab.