Question

9．求滿足下列條件的直線方程：
（1）求經過直線l₁：x+3y-3=0和l₂：x-y+1=0的交點，且平行于直線2x+y-3=0的直線l的方程；
（2）已知直線l₁：2x+y-6=0和點A（1，-1），過點A作直線l與l₁相交于點B，且|AB|=5，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）聯立直線l₁：x+3y-3=0和l₂：x-y+1=0的方程即可得到交點P的坐標．設經過點P且平行于直線2x+y-3=0的直線方程為2x+y+m=0，把點P代入求出m即可；
（2）當直線斜率不存在時，符合題意；當直線有斜率時，設直線方程為y+1=k（x-1），聯立方程組解交點，由距離公式可得k的方程，解方程可得．

解答 解：（1）聯立直線l₁：x+3y-3=0和l₂：x-y+1=0，解得x=1，y=2，得到交點P（1，2）．
設經過點P且平行于直線2x+y-3=0的直線方程為2x+y+m=0，把點P代入可得2×1+2+m=0，解得m=-4．
∴要求的直線方程為：2x+y-4=0．
（2）當直線斜率不存在時，方程為x=1，與直線l：2x+y-6=0相交于B（1，4），
由距離公式可得|AB|=5，符合題意；
當直線有斜率時，設直線方程為y+1=k（x-1），
聯立方程組可得$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x-1）}\\{2x+y-6=0}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{k+7}{k+2}$，$\frac{4k-2}{k+2}$），
由距離公式可得（$\frac{k+7}{k+2}$-1）²+（$\frac{4k-2}{k+2}$+1）²=25，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴所求直線的方程為y=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{1}{4}$，即3x+4y+1=0
綜上可得所求直線方程為：x=1或3x+4y+1=0．

點評 本題考查了兩條直線的交點、平行直線的方程，考查直線的一般式方程的求解，涉及截距式和分類討論的思想，屬中檔題．