Question

6．若實數x，y，z滿足x+2y+z=1，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 利用條件x+2y+z=1，構造柯西不等式（x+y+z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+1²）進行解題即可．

解答 解：由柯西不等式，得（x+2y+z）²≤（1²+2²+1²）•（x²+y²+z²），
即$x+2y+z≤\sqrt{{1^2}+{2^2}+{1^2}}•\sqrt{{x^2}+{y^2}+{z^2}}$，…（5分）
又因為x+2y+z=1，所以${x^2}+{y^2}+{z^2}≥\frac{1}{6}$，
當且僅當$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$，即$x=z=\frac{1}{6}，y=\frac{1}{3}$時取等號．
綜上，${（{{x^2}+{y^2}+{z^2}}）_{min}}=\frac{1}{6}$．…（10分）

點評 本題主要考查了函數的最值，以及柯西不等式的應用，解題的關鍵是利用（x+2y+z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+1²）進行解決．