Question

20．已知函數f（x）=mx²-mx-1，對于任意的x∈[1，3]，f（x）＜-m+5恒成立，則m的取值范圍是（-∞，$\frac{6}{7}$）．

Answer 1

分析 mx²-mx-1＜-m+5恒成立?m（x²-x+1）＜6恒成立，繼而可求得m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$恒成立，依題意，可求得（$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$）_min=$\frac{6}{7}$，從而可得m的取值范圍．

解答 解：依題意，x∈[1，3]，mx²-mx-1＜-m+5恒成立?m（x²-x+1）＜6恒成立，
∵x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，
∴m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$恒成立，x∈[1，3]，
又當x=3時，x²-x+1取得最大值7，
∴m＜（$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$）_min=$\frac{6}{7}$，
即m的取值范圍是：m＜$\frac{6}{7}$．
故答案為：（-∞，$\frac{6}{7}$）．

點評 本題考查函數恒成立問題，突出考查等價轉化思想與分離參數法，求得（$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$）_min=$\frac{6}{7}$是關鍵，屬于中檔題．