Question

已知點M（3，0）和點N（-3，0），直線PM，PN的斜率乘積為常數a（a≠0），設點P的軌跡為C，給出以下幾個命題：
①存在非零常數a，使C上所有點到兩點（-4，0），（4，0）距離之和為定值；
②存在非零常數a，使C上所有點到兩點（0，-4），（0，4）距離之和為定值；
③不存在非零常數a，使C上所有點到兩點（-4，0），（4，0）距離差的絕對值為定值；
④不存在非零常數a，使C上所有點到兩點（0，-4），（0，4）距離差的絕對值為定值；
其中正確的命題是

 

．（填出所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據斜率公式得出

y

x+3

•

y

x-3

=a，得y²=a（x²-9），再分類討論，即可得出結論．

解答： 解：設P（x，y）
由

y

x+3

•

y

x-3

=a，得y²=a（x²-9），
若a=-1，則方程為x²+y²=9，軌跡為圓（除A B點）；
若-1＜a＜0，方程為

x2

9

+

y2

-9a

=1，軌跡為橢圓（除A B點）
-9a＜9，c=

9+9a

=4，∴a=

7

9

，不符合；
a＜-1，-9a＞9，c=

-9a-9

=4，∴a=-

25

9

，符合，
∴存在非零常數a，使C上所有點到兩點（0，-4），（0，4）距離之和為定值；
若a＞0，方程為

x2

9

-

y2

9a

=1，軌跡為雙曲線（除A B點）．c=

9+9a

=4，a=

7

9

，
∴存在非零常數a，使C上所有點到兩點（-4，0），（4，0）距離差的絕對值為定值．
④是正確的，不存在，如果曲線是雙曲線時，焦點一定在x軸上．
故答案為：②④

點評：本題考查軌跡方程，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．