Question

定義：如果函數f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），滿足f′（x₁）=

f(b)-f(a)

b-a

，f′（x₂）=

f(b)-f(a)

b-a

，則稱函數f（x）是[a，b]上的“雙中值函數”．已知函數f（x）=

1

3

x³-x²+a是[0，a]上“雙中值函數”，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（1，3）
• B、（

  3

  2

  ，3）
• C、（1，

  3

  2

  ）
• D、（1，

  3

  2

  ）∪（

  3

  2

  ，3）

Answer 1

考點：導數的運算

專題：導數的概念及應用

分析：由新定義可知f′（x₁）=f′（x₂）=

1

3

a²-a，即方程x²-2x=

1

3

a²-a在區間（0，a）有兩個解，利用二次函數的性質可知實數a的取值范圍．

解答： 解：由題意可知，
在區間[0，a]存在x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜a），
滿足f′（x₁）=

f(a)-f(0)

a

=

1 3 a3-a2

a

=

1

3

a²-a，
∵f（x）=

1

3

x³-x²+a，
∴f′（x）=x²-2x，
∴方程x²-2x=

1

3

a²-a在區間（0，a）有兩個解．
令g（x）=x²-2x-

1

3

a²+a，（0＜x＜a）
則

△=4+ 4 3 a2-4a＞0 g(0)=- 1 3 a2+a＞0 g(a)= 2 3 a2-a＞0 a＞1

解得

3

2

＜a＜3，
∴實數a的取值范圍是（

3

2

，3）．
故選：B．

點評：本題主要考查了導數的幾何意義，二次函數的性質與方程根的關系，屬于中檔題．