Question

隨著私家車的逐漸增多，居民小區(qū)“停車難”問題日益突出．本市某居民小區(qū)為緩解“停車難”問題，擬建造地下停車庫，建筑設(shè)計(jì)師提供了該地下停車庫的入口和進(jìn)入后的直角轉(zhuǎn)彎處的平面設(shè)計(jì)示意圖．

（1）按規(guī)定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)耄瑸闃?biāo)明限高，請(qǐng)你根據(jù)如圖①所示的數(shù)據(jù)計(jì)算限定高度CD的值（精確到0.1m）
（參考數(shù)據(jù)：sin20°=0.3420，cos20°=0.939，tan20°=0.3640）
（2）在車庫內(nèi)有一條直角拐彎車道，車道的平面圖如②所示，設(shè)∠PAB=θ（rad），車道寬為3m，現(xiàn)有一輛轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的小汽車其水平截面圖為矩形，它的寬1.8m，長4.5m，問此車是否能順利通過此直角拐彎車道？

Answer 1

考點(diǎn)：在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）在Rt△ABE中，求出BE的值，再得出CE的值，計(jì)算出CD即可；
（2）根據(jù)圖形，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，表示出EF、DE與AB的長，計(jì)算AB的最小值即可判斷小汽車是否能通過直角彎道．

解答： 解：（1）在Rt△ABE中，
BE=AB•tan20°=10×0.3640=3.640，
∴CE=BE-BC=3.640-0.60=3.040，
∴CD=CE•cos20°=3.040×0.939=2.85m，
∴限定高度CD的值約為2.8m；
（2）延長CD與直角走廊的邊相交于E、F，
則EF=OE+OF=

3

cosθ

+

3

sinθ

，其中0＜θ＜

π

2

，
∴DE=

DA

tanθ

=

1.8

tanθ

，
CF=BC•tanθ=1.8tanθ；
又∵AB=DC=EF-（DE+CF），
∴f（θ）=

3

cosθ

+

3

sinθ

-1.8（tanθ+

1

tanθ

）
=

3(sinθ+cosθ)-1.8

sinθcosθ

，其中0＜θ＜

π

2

；
設(shè)sinθ+cosθ=t，
則t=

2

sin（θ+

π

4

），
∴1＜t≤

2

；
∵sinθcosθ=

t2-1

2

，
∴f（θ）=g（t）=

6t-3.6

t2-1

，
∴g′（t）=-

6t2-7.2t+6

(t2-1)2

=-

6(t-0.6)2+3.84

(t2-1)2

；
又∵1＜t≤

2

，
∴g′（t）＜0恒成立；
∴g（t）=

6t-3.6

t2-1

在t∈（1，

2

]上是減函數(shù)，
∴g（t）_min=g（

2

）=6

2

-3.6＞4.5；
∴小汽車能夠順利通過直角拐彎車道．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了解三角形的應(yīng)用問題，是綜合性題目．