Question

如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四邊形ACDE中，AE=2，AC=4，∠AEB=60°，點(diǎn)B為DE中點(diǎn)，連接A₁E．
（1）求證：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁；
（2）設(shè)四棱錐A₁-AEBC與四棱錐A₁-B₁BCC₁的體積分別為V₁，V₂，求V₁：V₂的值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）先證AB⊥BC，再由直三棱柱的定義證明AA₁⊥BC，從而得到直線垂直于平面，根據(jù)面與面垂直的判定定理得到結(jié)論．
（2）設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高為h，由已知得S_{四邊形AEBC}=

1

2

(AC+EB)×AE=

1

2

(4+2)×2=6，S四邊形B1BCC1=BC•h=

4+4

•h=2

2

h，由此能求出V₁：V₂的值．

解答： （1）證明：在平行四邊形ACDE中，
∵AE=2，AC=4，∠E=60°，點(diǎn)B為DE中點(diǎn)．
∴∠ABE=60°，∠CBD=30°，
從而∠ABC=90°，即AB⊥BC．
又AA₁⊥面ABC，BC?面ABC
∴AA₁⊥BC，而AA₁∩AB=A，
∴⊥平面A₁ABC₁．
∵BC?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（2）解：設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高為h，
由已知得S_{四邊形AEBC}=

1

2

(AC+EB)×AE=

1

2

(4+2)×2=6，
∴V₁=VA1-AEBC=

1

3

×6h=2h，
S四邊形B1BCC1=BC•h=

4+4

•h=2

2

h，
∴V₂=VA1-B1BCC1=

1

3

×A1B1×S四邊形B1BCC1=

1

3

×

4+4

×2

2

h=

8

3

h，
∴

V1

V2

=

2h

8 3 h

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩平面垂直的證明，考查兩幾何體體積的比值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．