Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點M、N分別是面對角線A₁B和B₁D₁的中點．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）求三棱錐A₁-MND₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結B₁A，由已知得MN∥AD₁，AB⊥AD₁，由此能證明MN⊥AB．
（2）由VA1-MND1=VM-A1ND1，利用等積法能求出三棱錐A₁-MND₁的體積．

解答： （1）證明：連結B₁A，則A，M，B₁三點共線，
∵M，N是A₁B和B₁D₁的中點，
∴MN∥AD₁，
∵AB⊥平面ADD₁，∴AB⊥AD₁，
∴MN⊥AB．
（2）解：∵點M是A₁B的中點，
∴點M到平面A₁ND₁的距離為

1

2

，點N到A₁D₁的距離為

1

2

，
∴VA1-MND1=VM-A1ND1=

1

3

×

1

2

×1×

1

2

×

1

2

=

1

24

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養．