Question

若存在正數(shù)x，使2^x+a＞4^x成立，則實數(shù)a的取值范圍是

（0，+∞）

．

Answer 1

分析：令t=2^x，則t＞1，不等式即 a＞t²-t=(t-

1

2

)2-

1

4

＞(1-

1

2

)2-

1

4

=0，由此可得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：令t=2^x，由于x是正數(shù)，故t＞2⁰=1，即t＞1．
由條件可得 a＞t²-t=(t-

1

2

)2-

1

4

，由于二次函數(shù) h（t）=(t-

1

2

)2-

1

4

在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故有h（t）=(t-

1

2

)2-

1

4

＞h（1）=0，
故有a＞0，故實數(shù)a的取值范圍是 （0，+∞），
故答案為 （0，+∞）．

點評：本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．