Question

若存在正數x，使a•2^x+l＞4^x成立，則實數a的取值范圍是

（0，+∞）

．

Answer 1

分析：令t=2^x，則t＞1，由條件可得存在t，使得 a＞

t2-1

t

=t-

1

t

（t＞1），只需a＞（

t2-1

t

）_min，轉化為求函數的最小值．

解答：解：令t=2^x，由于x是正數，故t＞2⁰=1，即t＞1．
由條件可得存在t，使得 a＞

t2-1

t

=t-

1

t

（t＞1），只需a＞（

t2-1

t

）_min，
令f（t）=

t2-1

t

=t-

1

t

（t＞1），則f′（t）=1+

1

t2

＞0，
f（t）在（1，+∞）上為增函數，f（t）＞f（1）=0
所以有a＞0，故實數a的取值范圍是 （0，+∞），
故答案為：（0，+∞）．

點評：本題主要考查函數的性質應用，考查邏輯思維、運算求解能力．體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．