Question

已知函數，其中.

（1）當時，求曲線在原點處的切線方程；

（2）求的單調區間；

（3）若上存在最大值和最小值，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）當時在單調遞增，在單調遞減，當時

的單調增區間是，；單調減區間是

當時的單調增區間是，；單調減區間是

（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用導數的幾何意義求曲線在點處的切線方程，注意這個點的切點,利用導數的幾何意義求切線的斜率；（2）首先求導數，然后根據參數取值的不確定性，對其進行分類討論求解，分類討論不要出現遺漏，不要出現重復現象，求單調性列表；（3）解決類似的問題時，注意區分函數的最值和極值.求函數的最值時，要先求函數在區間內使的點，再計算函數在區間內所有使的點和區間端點處的函數值，最后比較即得.

試題解析：（1）【解析】
當時，，. 2分

由， 得曲線在原點處的切線方程是 3分

（2）【解析】
. 4分

①當時，．

所以在單調遞增，在單調遞減. 5分

當，．

②當時，令，得，，與的情況如下：

	↘		↗		↘

 

故的單調減區間是，；單調增區間是. 7分

③當時，與的情況如下：

	↗		↘		↗

 

所以的單調增區間是，；單調減區間是 9分

（3）【解析】
由（2）得， 時不合題意. 10分

當時，由（2）得，在單調遞增，在單調遞減，所以在上存在最大值．

設為的零點，易知，且．從而時，；時，．

若在上存在最小值，必有，解得．

所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是． 12分

當時，由（2）得，在單調遞減，在單調遞增，所以在上存在最小值．

若在上存在最大值，必有，解得，或．

所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．

綜上，的取值范圍是. 14分

考點：1、求曲線的切線方程；2、利用導數求函數的單調區間；3、利用導數求函數的最值.