Question

（本小題滿分14分）已知函數，.

（1）求函數的單調遞增區間；

（2）若函數有兩個零點，且，求實數的取值范圍并證明隨的增大而減小.

 

Answer 1

（1）的單調遞增區間為，；（2）的取值范圍是.證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）導數大于0，則為增函數，導數小于0則為減函數.將求導得，當時，對恒成立，的單調遞增區間為；當時，由得：，或， 所以的單調遞增區間為，；（2），得.顯然是的極大值點，要使得有兩個零點，必須>0, 即，從而得的取值范圍是.是函數的兩個零點，所以，，相減消去得：.設，則，且解得，.所以. 令，，再利用導數可知在上單調遞增，由此可得隨著的增大而增大.下面再來研究與的關系.因為是函數的兩個零點，即，，則，，，.設，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減. 對于任意的，方程都有兩個解，這兩個解就是.如下圖：

設，設，則必有，其中；，其中.因為在上單調遞增，故由，即，可得；

類似可得，由，則，所以.這說明隨著的增大而減小.根據復合函數的單調性知隨a增大而減小.

試題解析：（1） ∵，所以定義域為且， 1分

因為,

（1）當，又，即時，對恒成立，

∴的單調遞增區間為； 2分

（2）當，又，即時，

由得：，或， 3分

所以的單調遞增區間為，； 4分

（2）當時，由，得.

當變化時，，的變化情況如下表：

		1
	＋	0	－
	↗		↘

 

這時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是. 5分

當x大于0且無限趨近于0時，的值無限趨近于；

當x無限趨近于0時，的值無限趨近于， 6分

所以有兩個零點，須滿足>0，即，

所以的取值范圍是. 7分

因為是函數的兩個零點，即，.

故. 8分

設，則，且解得，.

所以. 9分

令，，則.

令，得.

當時，.因此，在上單調遞增，

故對于任意的，，由此可得，

故在上單調遞增.

因此，由①可得隨著的增大而增大. 10分

因為是函數的兩個零點，即，，

則，，

因為且，則，. 11分

設，則，

所以在上單調遞增，在上單調遞減. 12分

對于任意的，設，

必有，其中；，其中.

因為在上單調遞增，故由，即，可得；

類似可得， 13分

由，則，所以.

所以，隨著的增大而減小.

即隨a增大而減小. 14分

考點：導數與不等式.