Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若2S_n=a_n+

1

an

（n∈N^*），則S₂₀₁₄=（　　）

• A、2014+

  2014

  2014

• B、2014-

  2014

  2014

• C、2014
• D、

  2014

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件利用遞推思想分別求出a₁，a₂，a₃，由此猜想an=

n

-

n-1

，從而能求出S₂₀₁₄．

解答：解：∵2S_n=a_n+

1

an

（n∈N^*），
∴S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），
當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

2

(a1+

1

a1

)，解得a₁=1，
當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)），解得a2=

2

-1（a_n＞0），
當(dāng)n=3時(shí)，a₁+a₂+a₃=

1

2

(a3+

1

a3

)），解得a₃=

3

-

2

（a_n＞0），
猜想：an=

n

-

n-1

．
∴S₂₀₁₄=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄
=1+

2

-1+

3

-

2

+…+

2014

-

2013

=

2014

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意遞推思想和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．