Question

9．在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知直線l與曲線C交于A，B兩點，試求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由曲線C的極坐標方程求出曲線C的直角坐標方程即可；
（Ⅱ）把直線l的參數方程代入曲線C的方程得5t²+4t-12=0，求出t₁+t₂和t₁t₂的值，由此能求出|AB|．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標方程為3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
∴曲線C的直角坐標方程為3x²+4y²=12，化簡得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）把直線l的參數方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，化簡整理得5t²+4t-12=0，
∴${t}_{1}+{t}_{2}=-\frac{4}{5}$，${t}_{1}{t}_{2}=-\frac{12}{5}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$．

點評 本題考查直線的極坐標方程、曲線的直角坐標方程的求法，考查弦長的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化，是基礎題．