Question

19．若多項式x+x¹¹=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰+a₁₁（x+1）¹¹，則a₁₀的值為-11．

Answer 1

分析 由題意可得，a₁₀為x¹¹=[（x+1）-1]¹¹的展開式中（x+1）¹⁰的系數，根據 x¹¹=[-1+（x+1）]¹¹，按照二項式定理展開，可得a₁₀的值．

解答 解：∵多項式x+x¹¹=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰+a₁₁（x+1）¹¹，
∴a₁₀為x¹¹=[（x+1）-1]¹¹的展開式中（x+1）¹⁰的系數，
∵x¹¹=[-1+（x+1）]¹¹=-${C}_{11}^{0}$+${C}_{11}^{1}$•（x+1）-${C}_{11}^{2}$•（x+1）²+…+${C}_{11}^{11}$•（x+1）¹¹
=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰+a₁₁（x+1）¹¹，
則a₁₀ =-${C}_{11}^{10}$=-11，
故答案為：-11．

點評 本題主要考二項式定理的應用，二項查展開式的通項公式，屬于基礎題．