Question

如圖三棱錐中，，是等邊三角形.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若二面角 的大小為，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

(I) 詳見解析；（II）．

試題分析：(I) 求證：，只需證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面，注意到，是等邊三角形，可考慮取的中點，連接，只需證面即可，顯然易證，從而可得；（II）若二面角 的大小為，求與平面所成角的正弦值，首先確定二面角的平面角，由（I）可知，即為二面角的平面角，所以，求與平面所成角的正弦值，關鍵是找在平面上的射影，注意到平面平面，可過點作，則面，則為與平面所成角，為了便于計算，可設，從而求出與平面所成角的正弦值．
試題解析：（I）取的中點，連接.                 2分
是等邊三角形，，              4分
又，面，     6分
（II）由（I）及條件知，二面角的平面角為，       8分
過點作，由（I）知面，， 又，
面，                    10分
為與平面所成角，               11分
令，則，.   14分