Question

【題目】已知橢圓經過點,,過點的直線與橢圓交于不同的兩點.

（1）求橢圓的方程;

（2）求的取值范圍;

（3）設直線和直線的斜率分別為和,求證:為定值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.（3）證明見詳解.

【解析】

（1）根據橢圓經過點的坐標滿足橢圓方程，結合已知條件，聯立方程組即可求得；

（2）設出直線方程，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理，將轉化為關于斜率的函數，根據的取值范圍，求函數的值域即可；

（2）由（2）中所求韋達定理，將和表示出來，整理化簡即可求證.

（1）因為橢圓經過點，故可得，

又因為，

聯立方程組解得，

故橢圓方程為.

（2）根據題意，直線的斜率一定存在，

故可設直線方程為，

聯立橢圓方程，

可得，

則，

解得

設坐標為，

故可得，

故

.

又因為，故可得，

故可得.

即的取值范圍為.

（3）因為

.

故為定值.即證.