Question

11．如圖所示，在著名的漢諾塔問題中有三根針和套在一根針上的若干金屬片，按下列規則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上：①每次只能移動一個金屬片；②在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．將n個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數記為f（n），則f（6）=（　　）

• A． 31
• B． 33
• C． 63
• D． 65

Answer 1

分析 根據移動方法與規律發現，隨著盤子數目的增多，都是分兩個階段移動，用盤子數目減1的移動次數都移動到2柱，然后把最大的盤子移動到3柱，再用同樣的次數從2柱移動到3柱，從而完成，然后根據移動次數的數據找出總的規律求解即可．

解答 解：設f（n）是把n個盤子從1柱移到3柱過程中移動盤子之最少次數
n=1時，f（1）=1；
n=2時，小盤→2柱，大盤→3柱，小柱從2柱→3柱，完成，即h（2）=3=2²-1；
n=3時，小盤→3柱，中盤→2柱，小柱從3柱→2柱，
[用h（2）種方法把中、小兩盤移到2柱，大盤3柱；再用h（2）種方法把中、小兩盤從2柱3柱，完成]，
f（3）=f（2）×f（2）+1=3×2+1=7=2³-1，
f（4）=f（3）×f（3）+1=7×2+1=15=2⁴-1，
…
以此類推，h（n）=h（n-1）×h（n-1）+1=2ⁿ-1，
∴f（6）=2⁶-1=63．
故選：C．

點評 本題考查了歸納推理、圖形變化的規律問題，根據題目信息，得出移動次數分成兩段計數是解題的關鍵．