Question

1．已知x₁，x₂是方程e^x-mx=0的兩解，其中x₁＜x₂，則下列說法正確的是（　　）

• A． x₁x₂-1＞0
• B． x₁x₂-1＜0
• C． x₁x₂-2＞0
• D． x₁x₂-2＜0

Answer 1

分析 ①當m≤0時，檢驗不滿足條件；②當m＞0時，利用導數求得f（x）的最小值為f（lnm）＜0，可得m＞e．不妨取m=$\frac{{e}^{2}}{2}$，可得f（2）=0，又 f（0）=1＞0，f（$\frac{1}{2}$）＜0，可得x₂=2，0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，從而得到x₁•x₂ ＜1．

解答 解：令f（x）=e^x-mx，∴f′（x）=e^x-m，
①當m≤0時，f′（x）=e^x-m＞0在x∈R上恒成立，
∴f（x）在R上單調遞增，不滿足f（x）=e^x-mx=0有兩解；
②當m＞0時，令 f′（x）=e^x-m=0，即 e^x-m=0，解得x=lnm，
∴在（-∞，lnm）上，f′（x）＜0，故f（x）在（-∞，lnm）上單調遞減，
在（lnm，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（lnm，+∞）上單調遞增．
∵函數f（x）=e^x-mx有兩個零點x₁＜x₂，∴f（lnm）＜0，且m＞0，
∴e^lnm-mlnm=m-mlnm＜0，∴m＞e．
不妨取m=$\frac{{e}^{2}}{2}$，可得f（2）=e²-2m=0，又 f（0）=1＞0，f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-$\frac{m}{2}$＜$\sqrt{e}$-$\frac{e}{2}$＜0，
∴x₂=2，0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，∴x₁•x₂ ＜1，
故選：B．

點評 本題考查了利用導數求函數的極值，研究函數的零點問題，利用導數研究函數的單調性，對于利用導數研究函數的單調性，注意導數的正負對應著函數的單調性，屬于中檔題．