Question

給定兩個(gè)長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為60°．如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧

AB

上變動．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，則x+2y的最大值是（　　）

• A、2
• B、

  2 3

  3

• C、1
• D、

  3

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：先以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)∠BOA=θ，則可得出A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出

OA

，

OB

，

OC

的坐標(biāo)．根據(jù)

OC

=x

OA

+y

OB

即可得到

cosθ=x+ 1 2 y sinθ= 3 2 y

，然后解出x，y，從而能得到x+2y=2sin（θ+

π

6

），根據(jù)

π

6

≤θ+

π

6

≤

π

2

，即可得出x+2y的最大值為2．

解答： 解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：
根據(jù)已知條件可知A（1，0），B（

1

2

，

3

2

），若設(shè)∠COA=θ，θ（0≤θ≤60°），則C（cosθ，sinθ）；
∴

OA

=(1，0)，

OB

=(

1

2

，

3

2

)，

OC

=(cosθ，sinθ)；
所以（cosθ，sinθ）=（x+

1

2

y，

3

2

y）；
∴

cosθ=x+ 1 2 y sinθ= 3 2 y

；
∴

x=cosθ- 3 3 sinθ y= 2 3 3 sinθ

；
∴x+2y=cosθ+

3

sinθ=2(

1

2

cosθ+

3

2

sinθ)=2sin(θ+

π

6

)；
∵

π

6

≤θ+

π

6

≤

π

2

；
∴2sin(θ+

π

6

)≤2；
∴x+2y的最大值為2．
故選A．

點(diǎn)評：考查建立平面直角坐標(biāo)系解決問題的方法，向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，以及兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的最值．