Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率為

2

，點F為雙曲線C的右焦點，過F作傾斜角為60°的直線交C于A、B兩點，且

AF

=λ

FB

．則實數λ=

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：分別過A，B作AD⊥l，BC⊥l，垂足分別為D，C（l為雙曲線的右準線），過B作BE⊥AD，垂足為E，由直線AB的傾斜角為60°，則∠ABE=30°，設BF=t，則可得AF=λt，AE=

1

2

AB，再由雙曲線的第二定義可知AE=AD-BC，代入計算即可得到λ．

解答： 解：分別過A，B作AD⊥l，BC⊥l，
垂足分別為D，C（l為雙曲線的右準線），
過B作BE⊥AD，垂足為E，
∵直線AB的傾斜角為60°，則∠ABE=30°
設BF=t，則由

AF

=λ

FB

，可得AF=λt，
AB=AF+BF=（λ+1）t，
Rt△ABE中，AE=

1

2

AB=

1

2

（λ+1）t，
由雙曲線的定義可知，

AF

AD

=e=

2

，

BF

BC

=e=

2

，
∵AE=AD-DE=AD-BC=

2

2

（AF-BF）=

2

2

（λt-t）=

1

2

（λ+1）t，
∴λ=3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點評：本題考查雙曲線的第二定義的應用及直線與雙曲線的相交關系的應用，解答本題的關鍵是靈活應用第二定義．