Question

設m，n∈N^*，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展開式中，x的系數為19．則f（x）展開式中x²的系數的最大、小值分別為

 

．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的x的系數，列出方程得到m，n的關系；利用二項展開式的通項公式求出x²的系數，將m，n的關系代入得到關于m的二次函數，配方求出最值．

解答： 解：f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展開式中，x的系數為m+n=19，
展開式中x²的系數為

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=

1

2

（m²+n²-m-n）=

1

2

[m²-m+（19-m）²-（19-m）]
=

1

2

（2m²-38m+19×18）=m²-19m+171=(m-

19

2

)2+

19×17

4

．
由題意可得，1≤m≤18．
∵m，n∈N^*，∴當m=9或10時，即m=10，n=9； 或m=9，n=10時，x²項的系數取得最小值，最小值為81．
當m=1或18時，即 m=1，n=18； 或m=18，n=1時，x²項的系數取得最大值，最大值為153，
故答案為：153，81．

點評：本題考查二項式定理的應用，本題考查利用二項展開式的通項公式求二項展開式的特殊項問題；利用賦值法求二項展開式的系數和問題．解題時要認真審題，仔細解答．