Question

若函數f（x）=x²+

256

x2

+a+b的零點都在（-∞，-2]∪[2，+∞）內，則直角坐標平面內滿足條件的點P（a，b）（a，b均為負數）組成區域的面積為

 

．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：先根據函數的零點的范圍求出a+b的范圍，進而由梯形面積公式，得到答案．

解答： 解：若f（x）的零點為x₀∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
則x02∈[4，+∞），
結合對勾函數的單調性，可得：當x02=

256

x02

=16時，x02+

256

x02

取最小值32，
又由x02=4時，x02+

256

x02

=68，
∴a+b=-（x02+

256

x02

）∈[-68，-32]，
由a，b均為負數，可得
滿足條件的平面區域如圖所示：

故S=

1

2

（32

2

+68

2

）

68-32

2

=1800，
故答案為：1800

點評：本題考察了函數的零點問題，基本不等式的應用，線性規劃，是一道基礎題．