Question

過△ABC所在平面α外一點P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC
（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，則點O是AB邊的

 

點；
（2）若PA=PB=PC，則點O是△ABC的

 

心；
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的

 

心．

Answer 1

考點：棱錐的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知條件利用射影定理得OA=OB=OC，所以點O是△ABC的外心．根據直角三角形判斷即可．
（2）由已知條件利用射影定理得OA=OB=OC，所以點O是△ABC的外心．
（3）連接AO并延長交BC于一點E，連接PO，由于PA，PB，PC兩兩垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC?面PBC，可得BC⊥PA，由PO⊥平面ABC于O，BC?面ABC，PO⊥BC，可得BC⊥AE，同理可以證明才CH⊥AB，又BG⊥AC．故O是△ABC的垂心．

解答： 解：（1）∵過△ABC所在平面α外一點P，作PO⊥α，垂足為O，
連接PA，PB，PC．PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，
∴點O是△ABC的外心．
∵∠C=90°，
∴O在Rt△ABC的外心在斜邊AB的中點．
（2）∵過△ABC所在平面α外一點P，作PO⊥α，垂足為O，
連接PA，PB，PC．PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，
∴點O是△ABC的外心．

（3）連接AO并延長交BC于一點E，連接PO，
∵PA，PB，PC兩兩垂直，即PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，
∴可以得到PA⊥面PBC
，而∵BC?面PBC，∴BC⊥PA，
∵PO⊥平面ABC于O，BC?面ABC
∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，
∵AE?面APE，∴BC⊥AE；
同理可以證明才HC⊥AB，又BG⊥AC．

∴O是△ABC的垂心．

點評：本題考查三角形的外心的求法，是基礎題，注意射影定理的合理運用，直線與平面垂直的性質，解題時要注意數形結合，屬于基本知識的考查．