Question

已知a＞0，函數y＝f(x)＝x³－ax在x∈[1，∞)是一個單調函數．

(1)試問函數y＝f(x)在a＞0的條件下，在x∈[1，∞)上能否是單調遞減函數？請說明理由；

(2)若f(x)在區間[1，＋∞)上是單調遞增函數，試求出實數a的取值范圍；

(3)設x₀≥1，f(x₀)≥1且f[f(x₀)]＝x₀，求證：f(x₀)＝x₀．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)＝(x)＝3x2－a． 　　若f(x)在[1，上是單調遞減函數，則須＜0，即a＞3x2，這樣的實數a不存在，故f(x)在[1，上不可能是單調遞減函數． 　　(2)若f(x)在[1，上是單調遞增函數，則a≤3x2， 　　由于x∈[1，，故3x2≥3，從而0＜a≤3． 　　(3)由(1)，(2)可知f(x)在[1，上只能是單調增函數． 　　若1≤x0＜f(x0)，則f(x0)＜f(f(x0))＝x0矛盾； 　　若1≤f(x0)＜x0，則f(f(x0))＜f(x0)，即x0＜f(x0)矛盾． 　　故只有f(x0)＝x0成立． 　　(3)的別證：設f(x0)＝u，則f(u)＝x0，∴－ax0＝u，u3－au＝x0． 　　兩式相減得(－u3)－a(x0－u)＝u－x0， 　　∴(x0－u)(＋x0u＋u2＋1－a)＝0． 　　∵x0≥1，u≥1　　∴＋x0u＋u2≥3，又0＜a≤3， 　　∴＋x0u＋u2＋1－a＞0，∴x0－u＝0，即u＝x0，亦即f(x0)＝x0．證畢．