Question

（20）已知a＞0，函數f（x）＝，x∈（0，＋∞）.設0＜x₁＜，設曲線y＝f（x）在

點M（x₁，f（x₁））處的切線為l.

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）設l與x軸交點為（x₂，0）.證明：

 

（i）0＜x₂≤;

 

（ii）若x₁＜，則x₁＜x₂＜.

Answer 1

（20）本小題主要考查利用導數求曲線切線的方法，考查不等式的基本性質，以及分析和解決問題的能力.

（Ⅰ）解：求f（x）的導數：f′（x）＝－，由此得切線l的方程：

y－（）＝－（x－x₁）.           

 

（Ⅱ）證：依題意，切線方程中令y＝0，

x₂＝x₁（1－ax₁）＋x₁＝x₁（2－ax₁），其中0＜x₁＜，       

 

（i）由0＜x₁＜，x₂＝x₁（2－ax₁），有x₂＞0，及x₂＝－a（x₁－）²＋.

 

∴0＜x₂≤，當且僅當x₁＝時，x₂＝.                 

 

（ii）當x₁＜時，ax₁＜1，因此，x₂＝x₁（2－ax₁）＞x₁，且由（i），x₂＜，

 

所以x₁＜x₂＜.