Question

9．已知函數f（x）=lg（x²+ax-a-1），給出下列命題：
①函數f（x）有最小值；
②當a=0時，函數f（x）的值域為R；
③若函數f（x）在區間（-∞，2]上單調遞減，則實數a的取值范圍是a≤-4．
其中正確的命題是②．

Answer 1

分析 根據如果x²+ax-a-1＜0有解，可判斷函數f（x）=lg（x²+ax-a-1）（a∈R），的值域為R，無最小值，
②當a=0時求出值域為R，③運用$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤2}\\{4+2a-a-1＞0}\end{array}\right.$求解即可．

解答 解：∵函數f（x）=lg（x²+ax-a-1）（a∈R），
∴①如果x²+ax-a-1＜0有解，
則函數f（x）=lg（x²+ax-a-1）（a∈R），的值域為R，無最小值，故①不正確，
②當a=0時，函數f（x）=lg（x²-1）（a∈R），定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），值域為R，
故②正確．
③若f（x）在區間[2，+∞）上是增函數，則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤2}\\{4+2a-a-1＞0}\end{array}\right.$解得：a＞-3，
故③不正確，
故答案為：②

點評 本題考查對數函數的性質，涉及二次函數的性質和反函數，屬中檔題．