Question

11．已知橢圓方程為 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，P為橢圓上動點，Q（4，0）是X軸上的定點，M是PQ的中點，當點P在橢圓上運動時
（1）寫出該橢圓的參數方程 
（2）求M的軌跡的參數方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓方程為 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，利用平方關系可得參數方程．
（2）設M（x，y），M是PQ的中點，則P（2x-4，2y）．代入橢圓方程可得：（x-2）²+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．利用平方關系即可得出．

解答 解：（1）由橢圓方程為 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，令$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（2）設M（x，y），M是PQ的中點，則P（2x-4，2y）．
代入橢圓方程可得：$\frac{（2x-4）^{2}}{4}$+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1，化為（x-2）²+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．
令x-2=cosα，$\frac{2y}{\sqrt{3}}$=sinα，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程與參數方程、三角函數基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．