Question

15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（（b+c）²，-1），$\overrightarrow{n}$=（1，a²+bc），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，求△ABC的周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的數量積，利用余弦定理，即可求出角A的大小；
（2）利用余弦定理和基本不等式，求出b+c的取值范圍，再根據三角形三邊關系，即可求出△ABC周長的取值范圍．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（（b+c）²，-1），$\overrightarrow{n}$=（1，a²+bc），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（b+c）²-（a²+bc）=0，
∴b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$；
又A∈（0，π），
∴A=$\frac{2π}{3}$；
（2）由a=3，結合余弦定理得
a²=b²+c²+bc
=（b+c）²-bc≥（b+c）²-${（\frac{b+c}{2}）}^{2}$
=$\frac{3}{4}$（b+c）²，
∴（b+c）²≤12，
∴b+c≤2$\sqrt{3}$，
∴a+b+c≤3+2$\sqrt{3}$，
∴6＜a+b+c≤3+2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的周長的取值范圍是（6，3+2$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了平面向量的數量積和余弦定理、基本不等式以及三角形三邊關系的應用問題，是綜合題．