Question

7．已知函數f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$，x∈R．
（1）求函數y=f（-3x）+1的最小正周期和單調遞減區間；
（2）已知△ABC中的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若銳角A滿足f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，且a=7，sinB+sinC=$\frac{{13\sqrt{3}}}{14}$，求b，c的長．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡f（x），求出y=f（-3x）+1的解析式，再求y的最小正周期和單調減區間；
（2）根據題意求出A的值，再利用正弦定理和余弦定理求出b、c的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=2sinxcosx+\sqrt{3}（2{cos^2}x-1）$
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；…（2分）
∴y=f（-3x）+1
=2sin（-6x+$\frac{π}{3}$）+1
=-2sin（6x-$\frac{π}{3}$）+1；
∴y=f（-3x）+1的最小正周期為
$T=\frac{2π}{6}=\frac{π}{3}$；…（3分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤6x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$得：
$\frac{1}{3}kπ-\frac{π}{36}≤x≤\frac{1}{3}kπ+\frac{5π}{36}$，k∈Z，
∴y=f（-3x）+1的單調遞減區間是
$[\frac{1}{3}kπ-\frac{π}{36}，\frac{1}{3}kπ+\frac{5π}{36}]$，k∈Z；…（6分）
（2）∵$f（\frac{A}{2}-\frac{π}{6}）=\sqrt{3}$，
∴$2sin（A-\frac{π}{3}+\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，
∴$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（7分）
∵$0＜A＜\frac{π}{2}$，∴$A=\frac{π}{3}$；
由正弦定理得：$sinB+sinC=\frac{b+c}{a}sinA$，
即$\frac{{13\sqrt{3}}}{14}=\frac{b+c}{7}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴b+c=13；…（9分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：
a²=（b+c）²-2bc-2bccosA，
即49=169-3bc，
∴bc=40；…（11分）
解得b=5，c=8或b=8或c=5．   …（12分）

點評 本題考查了正弦定理和余弦定理的應用問題，也考查了三角恒等變換的應用問題，是綜合性題目．