Question

15．設實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-4≥0}\\{2y-3≤0}\end{array}\right.$，則z=$\frac{y+1}{x}$的取值范圍是[$\frac{5}{8}$，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區域，
z的幾何意義是區域內的點到定點D（0，-1）的斜率，
由圖象知DA的斜率最大，DB的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{2y-3=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即A（1，$\frac{3}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$），
DA的斜率k=$\frac{\frac{3}{2}+1}{1}$=$\frac{5}{2}$，DB的斜率k=$\frac{\frac{2}{3}+1}{\frac{8}{3}}$=$\frac{5}{8}$，
則z的取值范圍是[$\frac{5}{8}$，$\frac{5}{2}$]，
故答案為：[$\frac{5}{8}$，$\frac{5}{2}$]

點評 本題主要考查線性規劃的有意義，利用直線斜率的幾何意義是解決本題的關鍵．