Question

3．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圓C₂：（x-4）²+（y-5）²=4
（I）若直線l過點A（-2，0），且被圓C₁截得的弦長為2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（II）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

分析 （I）直線l過點A（-2，0），故可以設出直線l的點斜式方程，又由直線被圓C₁截得的弦長為2$\sqrt{3}$，根據半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，可求直線l的方程．
（II）設出過P點的直線l₁與l₂的點斜式方程，根據⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，可得⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，故我們可以得到一個關于直線斜率k的方程，即可以求所有滿足條件的點P的坐標．

解答 解：（I）當直線l過點A（-2，0），且斜率不存在時，l的方程為x=-2
由$\left\{\begin{array}{l}{（x+3）^{3}+（y-1）^{2}=4}\\{x=-2}\end{array}\right.$得y=1$±\sqrt{3}$，此時直線l被圓C₁截得的弦長為2$\sqrt{3}$，滿足題意；…（2分）
當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y-k（x+2）
由直線l圓C₁截得的弦長為2$\sqrt{3}$，可得圓心（-3，1）到直線l的距離為1
由$\frac{|-3k-1+2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1解得k=0．
故直線l的方程為y=0…（5分）
綜上，滿足條件的直線l有兩條，方程分別為x=-2和y=0；…（6分）
（II）設點P（a，b）滿足條件，不妨設直線l₁的方程為y-b=k（x-a），k≠0
則直線l₂方程為：y-b=-$\frac{1}{k}$（x-a）（7分）
∵⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，
∴⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等
即$\frac{|1-k（-3-a）-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|5+\frac{1}{k}（4-a）-b|}{\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}$（8分）
整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|
∴1+3k+ak-b=±（5k+4-a-bk）即（a+b-2）k=b-a+3或（a-b+8）k=a+b-5
因k的取值有無窮多個，所以$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{b-a+3=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-b+8=0}\\{a+b-5=0}\end{array}\right.$（10分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{13}{2}}\end{array}\right.$，
這樣的點只可能是點P₁（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$）或點P₂（-$\frac{3}{2}$，$\frac{13}{2}$）
經檢驗點P₁和P₂滿足題目條件．…（12分）

點評 本題是中檔題，考查點到直線的距離公式，直線與圓的位置關系，對稱的知識，注意方程無數解的條件，考查轉化思想，函數與方程的思想，常考題型．