Question

17．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）的圖象如圖所示．
（1）根據圖象寫出f（x）的解析式；
（2）A為銳角三角形的一個內角，求f（A）的最大值，及當f（A）取最大值時A的值．

Answer 1

分析 （1）由圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，通過圖象經過（-$\frac{π}{6}$，0），求出φ，從而得到f（x）的解析式．
（2）通過角A是銳角三角形的一個內角的范圍，求出表達式f（A）的相位的范圍，利用正弦函數的值域求解函數的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由函數圖象可得：A=2，$\frac{3}{4}T=\frac{7π}{12}-（-\frac{π}{6}）=\frac{3π}{4}，T=π$，
∴可得：ω=2，
∵$x=-\frac{π}{6}$時，2sin[2×（-$\frac{π}{6}$）+φ]=0，由五點作圖法可得：$2（-\frac{π}{6}）+φ=0$，
∴$φ=\frac{π}{3}$，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．…（6分）
（2）∵$A∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$2A+\frac{π}{3}∈（\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}）$，
∴可得：f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$），
當且僅當$2A+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}，A=\frac{π}{12}$時f（A）最大，f（A）_max=2．…（12分）

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數的解析式，注意函數的周期的求法，考查正弦函數的圖象和性質，考查計算能力和數形結合思想的應用，屬于中檔題．