Question

5．定義在（0，+∞）上的單調函數f（x），對任意x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂x]=3成立，若方程f（x）-f'（x）=2的解在區間（k，k+1）（k∈Z）內，則k=1．

Answer 1

分析 設t=f（x）-log₂x，則f（x）=log₂x+t，又由f（t）=3，即log₂t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零點所在的區間為（1，2），結合函數的零點與方程的根的關系，即可得答案．

解答 解：根據題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，
則f（x）-log₂x為定值，
設t=f（x）-log₂x，則f（x）=log₂x+t，
又由f（t）=3，即log₂t+t=3，
解可得，t=2；
則f（x）=log₂x+2，f′（x）=$\frac{1}{ln2•x}$，
將f（x）=log₂x+2，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$代入f（x）-f′（x）=2，
可得log₂x+2-$\frac{1}{xln2}$=2，
即log₂x-$\frac{1}{xln2}$=0，
令h（x）=log₂x-$\frac{1}{xln2}$，
分析易得h（1）=$\frac{1}{ln2}$＜0，h（2）=1-$\frac{1}{2ln2}$＞0，
則h（x）=log₂x-$\frac{1}{xln2}$的零點在（1，2）之間，
則方程log₂x-$\frac{1}{xln2}$=0，即f（x）-f′（x）=2的根在（1，2）上，
故答案為：1．

點評 本題考查二分法求函數的零點與函數零點與方程根的關系的應用，關鍵點和難點是求出f（x）的解析式．