Question

9．若不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+3y≥4}\\{3x+y≤4}\end{array}\right.$，所表示的平面區域被直線y=kx+$\frac{4}{3}$分為面積相等的兩部分，則k的值是$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 先根據約束條件，畫出可行域，求出可行域頂點的坐標，再利用幾何意義求面積即可

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+3y≥4}\\{3x+y≤4}\end{array}\right.$，所表示的平面區域如圖示：
由圖可知，直線y=kx+$\frac{4}{3}$恒經過點A（0，$\frac{4}{3}$），當直線y=kx+$\frac{4}{3}$再經過BC的中點D（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）時，平面區域被直線y=kx+$\frac{4}{3}$分為面積相等的兩部分，
當x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{5}{2}$時，代入直線y=kx+$\frac{4}{3}$的方程得：
k=$\frac{7}{3}$；
故答案為：$\frac{7}{3}$

點評 本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．